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  • 简单随机游动格林函数的估计①

    分类:其他范文 时间:2023-06-02 12:40:05 本文已影响

    梁 静

    (淮南师范学院金融与数学学院,安徽 淮南 232001)

    O.Schramm在[1]里引入SLE(随机Loewner发展),三角形网格中的点渗流[2],环删除随机游动SLE[3][4],一致生成树[3],以及调和测度[5],均已运用SLE描述其极限情形。众所周知,简单随机游动的尺度极限是布朗运动,且在二维平面内是共形不变的。我们需要的是误差不依赖于边界的光滑性,可以将结果推广到更加广泛的领域内。[6]中给出了误差的范围,本文在其基础上通过表示出作为领域内径的幂更精确的误差,给出了简单随机游动的格林函数的优化估计。

    在这一节中给出本文涉及的一些定义、记号以及一些基本事实,更详细的请参见[7][8][9[10]等。

    D是一个边界包含曲线的领域,gD(x,y)表示布朗运动的格林函数。如果x∈D,则称gD(x,·)为D{x}上唯一的在∂D上极限为0的调和函数。gD(x,y)=-log|x-y|+O(1)

    一个D∈D*(D*为包含原点的若当领域)上布朗运动的等价格林函数可表示为gD(x,y)=E*[log|BTD-y|]-log|x-y|,对于不同的点x,y∈D,其中TD=inf{t:Bt∉D}。特别地,如果0∈D,gD(x)=Ex[log|BTD|-log|x|]x∈D

    假设Sn为Ζ2上的简单随机游动,A为Ζ2上的一个子集,

    τA=min{j≥0:Sj∉A},

    表示A上的随机游动的格林函数。

    GA(x)=E*[a(SτA)]-a(x)x∈A

    引理1(强逼近)存在常数c<∞,在概率空间(Ω,F,P)上分别定义一个二维布朗运动B和二维简单随机游动S且B0=S0,使得

    引理2(Beurling反射定理)存在常数c<∞,使得如果γ:[a,b]→C是条满足|γ(a)|=r,|γ(b)|=R,0

    (3.1)

    其中gA(x)=gA(0,x)=-log|fA(x)|为A中布朗运动的格林函数,且

    为了证明此定理,需要以下结果

    (3.2)

    由文献[9]及命题1可得命题2

    (3.3)

    引理3 存在常数a,使得对每个n,在同一个概率空间(Ω,F,P)上可以定义一个布朗运动B和简单随机游动S,使得如果A∈An,1

    τA′=inf{t≥0:dSt(x)≤2clogn}

    考虑以下事件

    引理4 存在常数c,使得如果A∈An,|x|≤n2,那么

    证明:对于任意n,如引理3中定义B,S。令

    注意到

    对于log|SτA|同理可得

    如果x=0,有关系式

    GA(x)=1+GA(e)=a(1)+GA(e) |e|=1

    代入即可得定理1。

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