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  • 【正多边形作图教案(一)】用正多边形铺设地面教案

    分类:语文教案 时间:2018-08-27 01:16:15 本文已影响
    使学生学会用量角器等分圆周的方法;熟练地掌握用尺规将圆周六、三、十二、四、八等分.

      尺规等分圆周是重点,特别是将圆周四等分、六等分更为重要.

      正n边形的中心角是多少?正六边形的边长是多少?

      

      前面我们讲过,任意一个正n边形都有一个外接圆,并且正n边形的n个顶点把圆n等分.因此,正n边形的作图问题,实质上就是把它的外接圆n等分问题,把圆n等分后,依次连结各分点就得到正n边形.这节课我们主要学习如何把圆周三、六、十二、四、八等分.

      等分圆周的方法有两种:

      1.使用量角器法

      n等份,从而把圆周分成n等份,依次连结各分点,即得到圆内接正n边形.

      由于在度量正n边形的中心角时易有误差,所以使用量角器法是近似等分圆周的方法,在精确度要求不高的情况下可以使用量角器法.

      2.尺规作图法

      由于受尺规作图的限制,不能用尺规任意等分圆周,只能对于一些特殊的正n边形采用尺规作图法.尺规作图法比较准确.

      (1)正四、八边形的作图;

      正四边形的作法:

      如图1,①作直径AC⊥BD;

      ②依次连结AB、BC、CD、DA.

      则四边形的ABCD即为所求作的正四边形.

      证明:∵直径AC⊥BD,

      ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,

      

      ∴A、B、C、D是⊙O的四等分点,

      ∴四边形ABCD是正四边形.

      正八边形的作法:

      如图2,①作直径AC⊥BD;

      ②作∠AOB、∠BOC的平分线交⊙O于E、F点.

      ③延长EO、FO交⊙O于G、H点;

      ④依次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.

      则八边形AEBFCGDH即为所求作的正八边形.

      证明:∵直径AC⊥BD,

      ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°

      ∵ OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC,

      ∴∠1=∠2=∠3=∠4.

      ∵ ∠1=∠5,∠2=∠6,∠3=∠7,∠4=∠8,

      ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8,

      

      ∴八边形AEBFCGDH为正八边形.

      (2)正六、三、十二边形的作图

      正六边形的作法:

      如图3,①作直径AD;

      ②分别为A、D为圆心,以⊙O半径OA为半径画弧交⊙O于B、F、C、E;

      ③依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA.

      则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形.

      证明:连结OB、OC、OE、OF.

      ∵AB=OA=OB,

      ∴∠1=60°

      同理 ∠2=∠3=∠4=60°.

      ∵∠AOD=180°,

      ∴∠5=∠6=60°.

      ∴∠1=∠5=∠3=∠4=∠6=∠2.

      

      ∴六边形ABCDEF是正六边形.

      正三角形的作法:

      如图4,①作直径AD;

      ②以D为圆心,以⊙O半径为半径画弧交⊙O于B、C点;

      ③依次连结AB、BC、CA.

      则△ABC即为所求作的正三角形.

      证明:连结OB、OC、BD、CD.

      ∵BD=DO=OB,

      ∴∠BOD=60°.

      同理 ∠DOC=60°

      ∴∠BOC=120°.

      ∵∠AOD=180°,

      ∴∠AOB=∠AOC=120°.

      ∵ ∠AOB=∠BOC=∠COA,

      

      则△ABC为正三角形.

      说明:利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六边形,但是这样产生的误差较大.

      正十二边形的作法:

      如图5,①作直径AG⊥DQ;

      ②分别以A、D、G、Q为圆心,以⊙O半径为半径画弧分别交⊙O于C、R、B、F、E、P、H、S点;

      ③依次连结AB、BC、CD、DE、…、SA.

      则十二边形ABCD……S即为所求作的正十二边形.

      证明:连结AC、OB、OC、OE、…、OS.

      ∵AC=OA=OC,

      ∴∠AOC=60°.

      ∵直径AG⊥DQ,

      ∴∠AOD=90°,

      ∴∠COD=30°.

      同理 ∠AOB=30°,

      ∴∠BOC=30°.

      同理 ∠DOE=…=∠SOA=30°.

      ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=…=∠SOA,

      

      ∴十二边形ABCDE…S为正十二边形.

      说明:这里介绍的正十二边形的作法,比起利用二等分正六边形的各中心角的方法作正十二边形较为精确.

      当然,如果把正八边形、正十二边形的各中心角二等分,那么也可以作出正十六边形、正二十四边形,但这样作误差可能大些.

      注意:在用尺规作正多边形时,为了减少累积误差,应尽量避免从圆上某一点开始连续截取等弧的方法.

      小结:这节课我们着重研究了用尺规作特殊的正多边形的方法.通过作图,大家进一步体会到作正n边形的实质就是将圆n等分的问题.在生产实践中,常常会遇到等分圆周的问题,所以希望大家一定要掌握好这些基本的正多边形的作法.

      1.用量角器画一个半径为2cm的正五边形,再作出这个正五边形的各条对角线,画出正五角星.

      2.(1)画一个半径为2cm的正九边形;

      (2)画一个边心距为2cm的正六边形.

      3.尺规作图:

      (1)作半径为2cm的⊙O内接正八边形;

      (2)作半径为2cm的⊙O内接正十二边形.

      4.已知⊙O和⊙O上的一点A,

      (1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;

      

      作业答案:(略).


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