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  • 问题解决与数学教育_数学教育改革开放题热点

    分类:技术论文 时间:2018-08-26 本文已影响

      一、数学开放题

      开放题是相对封闭题而言的,传统的数学题条件完备,结论确定,这类题称之为封闭题.解封闭题一般是为了找出确定的答案.条件不完备、结论不在确定的习题称之为开放题.开放题有时只有给出一种情境,题目的条件和结论,都要求主体在情境中自行寻找和设定.解开放题常常没有现成的可以遵循的模式,得出的答案也有多种多样.

      一个典型的封闭题与开放题如下:

      封闭题:试求下列两个整式的最大公因式:

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      显然,对其共同点,学生可以从不同的角度来进行考察,所以结论也是多种多样的,这就是一个典型的开放题.

      二、数学开放题的产生

      数学开放题在数学教学中的重要地位的确立,及其对数学开放题比较深入系统的研究,始于二十世纪八十年代.

      数学教学最早被理解为传授知识,在这种理解下,过去偏重演绎论证的训练,注重灌输现成的知识,教师布置的问题,都是封闭型的,学习的主要方法是模仿,解题实质上就是“对号入座”,这种教育培养的是知识型的人才.

      20世纪60年代,数学教育界通过对新数学运动的反思,提出了“回到基础”的口号,我国数学教育也在重视基础的前提下,提出了培养三大能力.数学教育观念完成了从传授知识到传授知识培养能力的转变.

      在对数学教育的深层结构的反思过程中,“问题解决”理论尤为突出,它成为“衡量出个人和民族具有数学能力的效果”的标准,而在问题解决中,开放题就是一种极富教育价值问题类型.

      此时,我国的数学教育为了适应社会主义经济建设的飞速发展,更加注重了在教学中渗透数学思想方法,培养数学观念和良好的个性品质,正在由“应试教育”向“素质教育”的转化,培养全面发展的开拓性人才.在这种要求下,传统的封闭型数学问题不能完全满足对学生思维能力的训练,更不能完全满足培养学生良好思维品质的需要,开放型问题随之产生,进入了中考、高考试卷和课堂教学.

      数学开放题在日、美等国得到比较深入的研究.日本数学教育家开发了一种称之为“开放式结尾”(open-end)的题目,从1971年开始,以岛田茂为首的一个日本数学教育学者小组,进行了颇有特色的研究,1977年他们发表了名为《算术、数学课的开放式结尾的问题--改善教学的新方案》的报告文集,该小组的成员之一筑波大学教授能田伸彦认为:开放题“能够让学生了解问题的主题材料,而问题并没有唯一正确的解答,因此就向学生提供了用他们所最喜欢的解决问题的方法的机会.”国际数学教育委员会(ICMI)的一个文件指出:“培养学生对数学的积极态度是中小学数学的一个共同目的,帮助学生体验这种智力的欢乐是达到目的的一种手段.然而实际上任何学校这种欢乐都是很有限的.也许在数学课堂更多地进行没有固定答案的研讨的趋势,将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感.”

      三、数学开放题的基本类型

      是相对于传统的“条件完备,结论明确”的封闭性问题而言的,开放题中可能是所提供的条件不完备,需要在求解过程中不断充实和增添假设,它的结论或结果一般因人而异、丰富多彩.数学开放题有以下几种类型.

      1.给出条件,没有给出明确结论,或者结论不确定,需要解题者探索出结论,并加以证明.

      例如 要把一张面值1元的人民币换成零钱,现有足够多的面值5角、2角、1角的人民币,请设计兑换方法.

      2.给出了结论,没有给出条件或条件不完备,需要解题者分析出应具备的条件,并加以计算或证明.

      例如 有一块长方形的空地,长50米、宽30米,现在要在这块空地上建造一个花园,使种花草部分的面积占这块空地面积的三分之二,问该怎样设计花园建造方案?

      3.改变已知问题的条件,探讨结论相应地会发生什么变化,或者改变已知问题的结论,探讨条件相应地会发生什么变化.

      例如 在△ABC中,AD是BC边上的中线,E为AD的中 点,延长BE交AC于F点,求AF与FC的关系(如图1).

      引申1 在△ABC中,AD是BC边上的中线,E为AD上的 点,延长BE交AC于F点,若AE∶ED=m∶n,求AF∶FC的值.

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      引申2 在△ABC中,D为BC上的点,E为AD上的点, 延长BE交AC于F点,且BD∶CD=a∶b,AE∶ED=m∶n,求AF∶FC的值.

      4.从实际问题出发,给出一些数据,经过对数据的分析,建立数学模型,从而解决问题.

      例 比较下面两列算式的结果的大小:(在横线上选填">"、"<""=")

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      通过观察、归纳,写出能反映这种规律的一般结论,并加以证明.

      四、数学开放题的特征

      1.问题本身常常是不确定和一般性的,其背景情况也是用一般词语来描述的,主体必须搜集其他必要的信息,才能着手解题;

      2.没有现成的解题模式,有些答案可能易于直觉地发现,但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索;

      3.有些问题的答案是不确定的,存在着多样的解答,但重要的还不是答案本身的多样性,而于寻求解答的过程中主体的认知结构和重建;

      4.常常通过实际问题提出,主体必须用数学语言将其数学化,也就是建立数学模型;

      5.在求解过程中往往可以引出新的问题,或将问题加以推广,找出更一般、更有概括的结论;

      6.能激起多数学生的好奇心,全体学生都可以参与解答过程,而不管他是属于何种程度和水平;

      7.教师难以用注入式进行教学,学生能自然地处于一和主动参与的位置,教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、咨询者和指导者.

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